線段與角
線段與角
線段與角是初中平面幾何中兩個(gè)非?;镜母拍睿@兩個(gè)概念在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用. 小明做作業(yè)需要買一些文具.在他家的左邊200米處有一家文具店,他從家出發(fā)向文具店走去,走到一半發(fā)現(xiàn)忘了帶錢,又回家取錢買了文具后回到家中.問小明共走了多長的路程? 在高層建筑中,一般都設(shè)有電梯,人們上樓一般都乘坐電梯,你想過嗎,設(shè)計(jì)電梯與線段的什么性質(zhì)有關(guān)? 鐘表是大家熟悉的計(jì)時(shí)工具,你可曾觀察過在2點(diǎn)到3點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合?什么時(shí)候時(shí)針與分針成90°角? 我們還可以在日常生活中提出許多與線段和角有關(guān)的問題,不少問題很有趣,也頗費(fèi)腦筋,對于留心觀察、勤于思考的人來說是鍛煉腦筋的好機(jī)會(huì). 例1 已知:AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E,F分別是AB和CD的中點(diǎn),且EF=12厘米(cm),求AD的長(如圖1-6). 分析 線段EF是線段AD的一部分,題設(shè)給出了EF的長度,只要知道線段EF占全線段AD的份額,就可求出AD的長了. 解 因?yàn)?/font>AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E是AB中點(diǎn),F是CD中點(diǎn),將線段AD 9等分(9=2+3+4)且設(shè)每一份為一個(gè)單位,則AB=2,BC=3,CD=4,EB=1,CF=2.從而 例2 在直線l上取 A,B兩點(diǎn),使AB=10厘米,再在l上取一點(diǎn)C,使AC=2厘米,M,N分別是AB,AC中點(diǎn).求MN的長度(如圖1-7). 分析 因?yàn)槭窃谥本€上取C點(diǎn),因此有兩種情形:C點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)或C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè). 解 若C點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)(即在線段AB上).因?yàn)?/font>AC=2厘米, N為 AC中點(diǎn),所以 AN=1厘米;又 AB=10厘米,M為AB中點(diǎn),所以AM=5厘米.則 MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如圖1-7(a)). 若C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)(即在線段BA延長線上),此時(shí) MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如圖 1-7(b)). 線段的最基本性質(zhì)是“兩點(diǎn)之間線段最短”,這在生活中有廣泛應(yīng)用.前面所提到的高層建筑所設(shè)電梯的路線,就是連接兩層樓之間的線段,而樓梯的路線則是折線,電梯的路線最短. 例3 如圖1-8所示.在一條河流的北側(cè),有A,B兩處牧場.每天清晨,羊群從A出發(fā),到河邊飲水后, 折到B處放牧吃草.請問, 飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置,從A到B羊群行走的路程最短? 分析 將河流看作直線l(如圖1-9所示).設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C',則羊群行走路程為AC'+C'B.設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A',由對稱性知C'A'=C'A. 因此,羊群行走的路程為 線段A'C'與 C'B是連結(jié)點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的折線.由線段的基本性質(zhì)知,連結(jié)點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的線中,線段A'B最短.設(shè)線段A'B與直線l交于C.那么,C點(diǎn)就是所選的最好的飲水地點(diǎn),下面我們來說明這一點(diǎn). 解 作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'.連結(jié)B,A',并設(shè)線段BA'與l交于C.設(shè)C'是l上不同于C的另外一點(diǎn),只要證明 AC'+C'B>AC+CB ① 即可. 利用線段基本性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性知 所以 而C'A'與C'B是連結(jié)A',B的折線,而A'B則是連結(jié)這兩點(diǎn)之間的線段,所以 從而①成立,即選擇C點(diǎn)作為羊群的飲水點(diǎn),羊群的行程最短. 例4 將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段,以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形.問其中最長的一段的取值范圍. 分析 設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊(圖 1-10),而線段BC,CD,DE,EA則可看成是點(diǎn)A,B之間的一條折線,因此, 如果AB是最長的一段,上面的不等式關(guān)系仍然成立,從而可以求出它的取值范圍. 解 設(shè)最長的一段AB的長度為x厘米,則其余4段的和為(10-x)厘米.由線段基本性質(zhì)知x<10-x,所以x<5,即最長的一段AB的長度必須小于5厘米. 例5 若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是2∶7,求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角. 分析 這個(gè)問題涉及到一個(gè)角的余角、補(bǔ)角及兩個(gè)角的比的概念,概念清楚了,問題不難解決. 解 設(shè)這個(gè)角為α,則這個(gè)角的余角為90°-α,這個(gè)角的補(bǔ)角為180°-α.依照題意,這兩個(gè)角的比為 所以 所以α=54°.從而,這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為 例6 若時(shí)鐘由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)50分,問時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過多大的角度? 分析 解這個(gè)問題的難處在于時(shí)針轉(zhuǎn)過多大的角度,這就要弄清楚時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的關(guān)系.每一小時(shí),分針轉(zhuǎn)動(dòng)360°,而時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 解 在2點(diǎn)30分時(shí),時(shí)鐘的分針指向數(shù)字6;在2點(diǎn)50分時(shí),時(shí)鐘的分針指向數(shù)字10,因此,分針共轉(zhuǎn)過“四格”,每轉(zhuǎn)“一格”為30°,故分針共轉(zhuǎn)過了 在鐘表中,有很多有關(guān)分針、時(shí)針的轉(zhuǎn)角問題.解決這類問題的關(guān) 倍). 例7時(shí)鐘里,時(shí)針從5點(diǎn)整的位置起,順時(shí)針方向轉(zhuǎn)多少度時(shí),分鐘與時(shí)針第一次重合(圖1-11)? 分析 在開始時(shí),從順時(shí)針方向看,時(shí)針在分針的“前方”,它們相差 5×30°=150°.由于分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度(是它的12倍),因此,總有一刻,分針“追上”時(shí)針(即兩者重合).具體追上的時(shí)刻決定于開始時(shí),分針與時(shí)針的角度差及它們的速度比. 解 如分析,在開始時(shí),分針“落后”于時(shí)針150°.設(shè)分針與時(shí)針第一次重合時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了α角,那么,分針轉(zhuǎn)動(dòng)了(150°+α).因?yàn)榉昼娹D(zhuǎn)速是時(shí)針的12倍,所以 說明 鐘表里的分鐘與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追擊問題非常相似.行程問題中的距離相當(dāng)于這里的角度;行程問題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)(分)針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度. 下面再看一例. 例8 在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間,時(shí)針與分針在何時(shí) (1)成120°(圖1-12); (2)成90°(圖1-12). 分析與解 (1)在4點(diǎn)整時(shí),時(shí)針與分針恰成120°.由于所問的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間,因此,這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入.從4點(diǎn)開始,分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少,直至兩針重合(夾角為0°).之后,分針“超過”時(shí)針,兩針之間的夾角又逐漸增大(此時(shí),分針在時(shí)針的前面). 直到兩針夾角又一次成為120°,這個(gè)時(shí)間正是我們所要求的. 設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過a角后,時(shí)針與分針(分針在時(shí)鐘前)成120°,則 由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過30°(如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5)相當(dāng)于1 經(jīng)過了
(2)如圖1-13(a),(b)所示. 由于在整4點(diǎn)時(shí),時(shí)針與分針夾角為120°,因此,在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成90°有兩種情況?。?/font> (i)時(shí)針在分針之前(如圖1-13(a)).設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了a角,分針轉(zhuǎn)了12a角,有 所以 11α=30°,
用時(shí)
(ii)時(shí)針在分針之后(如圖1-13(b)),此時(shí),有關(guān)系 用時(shí) 說明 由于時(shí)針與分針?biāo)山且罆r(shí)針與分針的“前”“后”次序有兩種情況,因此,按兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解. 1.如圖1-14所示.B,C是線段AD上兩點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),N是CD的中點(diǎn).若MN=a,BC=b,求AD. 2.如圖1-15所示.A2,A3是線段A1A4上兩點(diǎn),且A1A2=a1,A1A3=a2,A1A4=a3.求線段A1A4上所有線段之和. 3.如圖1-16所示.兩個(gè)相鄰墻面上有A,B兩點(diǎn),現(xiàn)要從A點(diǎn)沿墻面拉一線到B點(diǎn).問應(yīng)怎樣拉線用線最??? 4.互補(bǔ)的兩角之差是28°,求其中一個(gè)角的余角. 5.如圖1-17所示.OB平分∠AOC,且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3.求∠2,∠3,∠4. 6.在晚6點(diǎn)到7點(diǎn)之間,時(shí)針與分針何時(shí)成90°角? 7.在4點(diǎn)到6點(diǎn)之間,時(shí)針與分針何時(shí)成120°角? |