關于圓周率π的計算歷程

關于圓周率π的計算歷程

　　圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進了外行人和學者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關圓的計算問題。僅憑這一點，求出它的盡量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實也是如此，幾千年來作為數(shù)學家們的奮斗目標，古今中外一代一代的數(shù)學家為此獻出了自己的智慧和勞動。回顧歷史，人類對 π 的認識過程，反映了數(shù)學和計算技術發(fā)展情形的一個側面。 π 的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學水平。德國數(shù)學史家康托說："歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學發(fā)展水平的指標。"直到19世紀初，求圓周率的值應該說是數(shù)學中的頭號難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計算歷程分為幾個階段。

　　阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文《圓的測定》之中。在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定 π 的近似值，他用幾何方法證明了"圓周長與圓直徑之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) "，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更準確的值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進步。

　　在我國，首先是由數(shù)學家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術，得出 π ＝3.14，通常稱為"徽率"，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多。另外，有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而這一結果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計算得出這個結果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術是割圓術中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對它缺乏理解而被長期埋沒了。
　　恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻吧。對此，《隋書·律歷志》有如下記載："宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。"
　　這一記錄指出，祖沖之關于圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率
　　　　3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
　　其二是，得到 π 的兩個近似分數(shù)即：約率為22／7；密率為355／113。
　　他算出的 π 的8位可靠數(shù)字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學史家提議將這一結果命名為"祖率"。
　　這一結果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對劉徽割圓術的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因為他站在數(shù)學偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計算圓內接多邊形邊長的話，得到這一結果，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算呢？這已經(jīng)不得而知，因為記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳了。這在中國數(shù)學發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。

　　祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎"發(fā)現(xiàn)宮"科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……
　　對于祖沖之的關于圓周率的第二點貢獻，即他選用兩個簡單的分數(shù)尤其是用密率來近似地表示 π 這一點，通常人們不會太注意。然而，實際上，后者在數(shù)學上有更重要的意義。
　　密率與 π 的近似程度很好，但形式上卻很簡單，并且很優(yōu)美，只用到了數(shù)字1、3、5。數(shù)學史家梁宗巨教授驗證出：分母小于16604的一切分數(shù)中，沒有比密率更接近 π 的分數(shù)。在國外，祖沖之死后一千多年，西方人才獲得這一結果。
　　可見，密率的提出是一件很不簡單的事情。人們自然要追究他是采用什么辦法得到這一結果的呢？他是用什么辦法把圓周率從小數(shù)表示的近似值化為近似分數(shù)的呢？這一問題歷來為數(shù)學史家所關注。由于文獻的失傳，祖沖之的求法已不為人知。后人對此進行了各種猜測。
　　讓我們先看看國外歷史上的工作，希望能夠提供出一些信息。
　　1573年，德國人奧托得出這一結果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結果377／120用類似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。
　　1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用兩者作為 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。
　　兩個雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。
　　在日本，十七世紀關孝和重要著作《括要算法》卷四中求圓周率時創(chuàng)立零約術，其實質就是用加成法來求近似分數(shù)的方法。他以3、4作為母近似值，連續(xù)加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學生對這種按部就班的笨辦法作了改進，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實際上就是我們前面已經(jīng)提到的加成法）這樣從3、4出發(fā)，六次加成到約率，第七次出現(xiàn)25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。
　　錢宗琮先生在《中國算學史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的"調日法"或稱加權加成法。他設想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計算加成權數(shù)x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一舉得到密率。錢先生說："沖之在承天后，用其術以造密率，亦意中事耳。"
　　另一種推測是：使用連分數(shù)法。
　　由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行，所以借助這一工具求近似分數(shù)應該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數(shù)之后，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數(shù)，得到其漸近分數(shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
　　最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分數(shù)的具體求法，這里略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說："密率的分數(shù)是一個連分數(shù)漸近數(shù)，因此是一個非凡的成就。"
　　我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。
　　1150年，印度數(shù)學家婆什迦羅第二計算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞細亞地區(qū)的天文學家、數(shù)學家卡西著《圓周論》，計算了3×2²⁸＝805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出 π 值，他的結果是：
　　 π＝3.14159265358979325
　　有十七位準確數(shù)字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。
　　16世紀的法國數(shù)學家韋達利用阿基米德的方法計算 π 近似值，用 6×2¹⁶正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韋達卻擁有比阿基米德更先進的工具：十進位置制。17世紀初，德國人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r間鉆研這個問題。他也將新的十進制與早的阿基米德方法結合起來，但他不是從正六邊形開始并將其邊數(shù)翻番的，他是從正方形開始的，一直推導出了有2⁶²條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率 π 被稱為"魯?shù)婪驍?shù)"。但是，用幾何方法求其值，計算量很大，這樣算下去，窮數(shù)學家一生也改進不了多少。到魯?shù)婪蚩梢哉f已經(jīng)登峰造極，古典方法已引導數(shù)學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。
　　17世紀出現(xiàn)了數(shù)學分析，這銳利的工具使得許多初等數(shù)學束手無策的問題迎刃而解。 π 的計算歷史也隨之進入了一個新的階段。

　　1973年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點后100萬位，并將結果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，《文摘報》報道，日本東京大學教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這些數(shù)字打印在A4大小的復印紙上，令每頁印2萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達五六百米。來自最新的報道：金田康正利用一臺超級計算機，計算出圓周率小數(shù)點后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀錄。據(jù)悉，金田教授與日立制作所的員工合作，利用目前計算能力居世界第二十六位的超級計算機，使用新的計算方法，耗時四百多個小時，才計算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計算出的小數(shù)點后二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。
　　不過，現(xiàn)在打破記錄，不管推進到多少位，也不會令人感到特別的驚奇了。實際上，把 π 的數(shù)值算得過分精確，應用意義并不大?，F(xiàn)代科技領域使用的 π 值，有十幾位已經(jīng)足夠。如果用魯?shù)婪虻?5位小數(shù)的 π 值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙·紐克姆的話來說明這種計算的實用價值：
　　"十位小數(shù)就足以使地球周界準確到一英寸以內，三十位小數(shù)便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。"
　　那么為什么數(shù)學家們還象登山運動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對 π 的探索呢？為什么其小數(shù)值有如此的魅力呢？
　　這其中大概免不了有人類的好奇心與領先于人的心態(tài)作怪，但除此之外，還有許多其它原因。

　　1、它現(xiàn)在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特別是運算速度與計算過程的穩(wěn)定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，當Intel公司推出奔騰（Pentium）時，發(fā)現(xiàn)它有一點小問題，這問題正是通過運行 π 的計算而找到的。這正是超高精度的 π 計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。
　　2、 計算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想。雖然計算機的計算速度超出任何人的想象，但畢竟還需要由數(shù)學家去編制程序，指導計算機正確運算。實際上，確切地說，當我們把 π 的計算歷史劃分出一個電子計算機時期時，這并非意味著計算方法上的改進，而只是計算工具有了一個大飛躍而已。因而如何改進計算技術，研究出更好的計算公式，使公式收斂得更快、能極快地達到較大的精確度仍是數(shù)學家們面對的一個重要課題。在這方面，本世紀印度天才數(shù)學家拉馬努揚得出了一些很好的結果。他發(fā)現(xiàn)了許多能夠迅速而精確地計算 π 近似值的公式。他的見解開通了更有效地計算 π 近似值的思路?，F(xiàn)在計算機計算 π 值的公式就是由他得到的。至于這位極富傳奇色彩的數(shù)學家的故事，在這本小書中我們不想多做介紹了。不過，我希望大家能夠明白 π 的故事講述的是人類的勝利，而不是機器的勝利。
　　3、還有一個關于 π 的計算的問題是：我們能否無限地繼續(xù)算下去？答案是：不行！根據(jù)朱達偌夫斯基的估計，我們最多算10⁷⁷位。雖然，現(xiàn)在我們離這一極限還相差很遠很遠，但這畢竟是一個界限。為了不受這一界限的約束，就需要從計算理論上有新的突破。前面我們所提到的計算，不管用什么公式都必須從頭算起，一旦前面的某一位出錯，后面的數(shù)值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎？他就是歷史上最慘痛的教訓。
　　4、于是，有人想能否計算時不從頭開始，而是從半截開始呢？這一根本性的想法就是尋找并行算法公式。1996年，圓周率的并行算法公式終于找到，但這是一個16進位的公式，這樣很容易得出的1000億位的數(shù)值，只不過是16進位的。是否有10進位的并行計算公式，仍是未來數(shù)學的一大難題。
　　5、作為一個無窮數(shù)列，數(shù)學家感興趣的把 π 展開到上億位，能夠提供充足的數(shù)據(jù)來驗證人們所提出的某些理論問題，可以發(fā)現(xiàn)許多迷人的性質 。如，在 π 的十進展開中，10個數(shù)字，哪些比較稀，哪些比較密？ π 的數(shù)字展開中某些數(shù)字出現(xiàn)的頻率會比另一些高嗎？或許它們并非完全隨意？這樣的想法并非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單，許多人司空見慣但卻不屑發(fā)問的問題。
　　6、數(shù)學家弗格森最早有過這種猜想：在 π 的數(shù)值式中各數(shù)碼出現(xiàn)的概率相同。正是他的這個猜想為發(fā)現(xiàn)和糾正向克斯計算 π 值的錯誤立下了汗馬功勞。然而，猜想并不等于現(xiàn)實。弗格森想驗證它，卻無能為力。后人也想驗證它，也是苦于已知的 π 值的位數(shù)太少。甚至當位數(shù)太少時，人們有理由對猜想的正確性做出懷疑。如，數(shù)字0的出現(xiàn)機會在開始時就非常少。前50位中只有1個0，第一次出現(xiàn)在32位上?？墒?，這種現(xiàn)象隨著數(shù)據(jù)的增多，很快就改變了：100位以內有8個0；200位以內有19個0；……1000萬位以內有999，440個0；……60億位以內有599，963，005個0，幾乎占1／10。
　　其他數(shù)字又如何呢？結果顯示，每一個都差不多是1／10，有的多一點，有的少一點。雖然有些偏差，但都在1／10000之內。
　　7、人們還想知道： π 的數(shù)字展開真的沒有一定的模式嗎？我們希望能夠在十進制展開式中通過研究數(shù)字的統(tǒng)計分布，尋找任何可能的模型――如果存在這種模型的話，迄今為止尚未發(fā)現(xiàn)有這種模型。同時我們還想了解： π 的展開式中含有無窮的樣式變化嗎？或者說，是否任何形式的數(shù)字排列都會出現(xiàn)呢？著名數(shù)學家希爾伯特在沒有發(fā)表的筆記本中曾提出下面的問題： π 的十進展開中是否有10個9連在一起？以現(xiàn)在算到的60億位數(shù)字來看，已經(jīng)出現(xiàn)：連續(xù)6個9連在一起。希爾伯特的問題答案似乎應該是肯定的，看來任何數(shù)字的排列都應該出現(xiàn)，只是什么時候出現(xiàn)而已。但這還需要更多 π 的數(shù)位的計算才能提供切實的證據(jù)。
　　8、在這方面，還有如下的統(tǒng)計結果：在60億數(shù)字中已出現(xiàn)連在一起的8個8；9個7；10個6；小數(shù)點后第710150位與3204765位開始，均連續(xù)出現(xiàn)了七個3；小數(shù)點52638位起連續(xù)出現(xiàn)了14142135這八個數(shù)字，這恰是的前八位；小數(shù)點后第2747956位起，出現(xiàn)了有趣的數(shù)列876543210，遺憾的是前面缺個9；還有更有趣的數(shù)列123456789也出現(xiàn)了。
　　如果繼續(xù)算下去，看來各種類型的數(shù)字列組合可能都會出現(xiàn)。