[奧數(shù)課堂]添加輔助線架起解題橋

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題目:如圖,四邊形ABCD是正方形,BE=1,DE=2,DF=1,三角形

  這是北京市小學(xué)生第十五屆《迎春杯》數(shù)學(xué)競賽決賽中的填空題,恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線,可以用多種方法來解答。

分析 由四邊形ABCD是正方形,BE=1,EC=2,DF=1,可知正方形的邊長是3、FC=2,三角形ECF是等腰直角三角形,它的面積是(2×2÷2=)2。

  過E點作EG∥AB(見圖1),這樣正方形被分成兩個長方形ABEG和ECDG,長方表ECDG的面積是2×3=6。在ECDG這個長方形中,四邊形ECFP

解法一 將EG三等分,則每一段的長都是1,所以三個三角形EPL、LPK、KPG的面積是相等的。由于GK=DF=1,所以三角形KPG與FDP的面

解法二 過P點作PN∥EG,PN把長方形ECDG分成兩個長方形ENPG和NCDP,再過F點作FM∥DP,F(xiàn)M把長方形NCDP分成兩個長方形NCFM和MFDP(見圖2)。

  

ENP與EPG面積相等,在長方形MFDP中,三角形MFP與FDP面積相等,所以

解法三 連結(jié)PC,三角形ECP的面積是(2×3÷2=)3,由于四

題目 四個足球隊進行單循環(huán)比賽,每兩隊都要賽一場。如果踢平,每隊各得1分,否則勝隊得3分,負隊得0分。比賽結(jié)果,各隊的總得分恰好是四個連續(xù)的自然數(shù)。問:輸給第一名的隊的總分是多少?

  這是一道邏輯推理問題。解題的關(guān)鍵是:首先要求出比賽的場數(shù),再根據(jù)勝負的得分情況,估算出四個隊總得分的范圍,最后再根據(jù)四隊得分是四個連續(xù)的自然數(shù),推理出各隊的得分,及每兩隊比賽的勝負情況,就能算出輸給第一名的隊的總分。

  這是北京市迎春杯小學(xué)生第十五屆《迎春杯》數(shù)學(xué)競賽決賽中的解答題。

分析與解析 四個隊進行單循環(huán)賽,共要賽(4×3)÷2=6場。如果每場都踢平,則6場比賽四個隊共得了(2×6=)12分;如果每場都分出勝負,則6場比賽四個隊共得了(3×6=)18分,因此四隊的總得分在12分~18分。

  因為四個隊的得分是四個連續(xù)的自然數(shù),而1+2+3+4=10,2+3+4+5=14,3+4+5+6=18,顯然,四個隊的總得分是14分,各隊的得分分別是2、3、4、5分。

  根據(jù)平分辦法:踢平每隊各得1分,分出勝負,勝隊得3分,負隊得0分,可知6場比賽分出勝負的場數(shù):(14-12)÷(3-2)=2場。

  假設(shè)A隊得5分,B隊得4分,C隊得3分,D隊得2分。由C隊得3分,可知C隊與A、B、D隊比賽均踢平;由D隊得2分,可知D隊與A、B隊比賽時一場平一場負;由A、B兩隊得分都高于3分,又只有兩場比賽分出勝負,可知A、B兩隊各踢勝一場,又由于5=3+1+1,4=3+1+0,所以A隊一勝兩平,B隊一勝一平一負。這樣,只能是A隊勝B隊,B隊勝D隊,其余四場均踢平。輸給第一名(A隊)的隊(B隊)的總分是4分。

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