絕對(duì)值
絕對(duì)值
絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念,在求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)代數(shù)式、證明恒等式與不等式,以及求解方程與不等式時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題,同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的定義來(lái)解決這些問(wèn)題.下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對(duì)值的基本知識(shí),然后進(jìn)行例題分析.
一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);零的絕對(duì)值是零.即
絕對(duì)值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來(lái)認(rèn)識(shí),它與距離的概念密切相關(guān).在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.
結(jié)合相反數(shù)的概念可知,除零外,絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè),它們恰好互為相反數(shù).反之,相反數(shù)的絕對(duì)值相等也成立.由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論:任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù).
例1 a,b為實(shí)數(shù),下列各式對(duì)嗎?若不對(duì),應(yīng)附加什么條件?
(1)|a+b|=|a|+|b|;
(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;
(4)若|a|=b,則a=b;
(5)若|a|<|b|,則a<b;
(6)若a>b,則|a|>|b|.
解 (1)不對(duì).當(dāng)a,b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)成立.(2)對(duì).
(3)對(duì).
(4)不對(duì).當(dāng)a≥0時(shí)成立.
(5)不對(duì).當(dāng)b>0時(shí)成立.
(6)不對(duì).當(dāng)a+b>0時(shí)成立.
例2 設(shè)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖1-1所示,化簡(jiǎn)|b-a|+|a+c|+|c-b|.
解 由圖1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(hào)法則,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.
再根據(jù)絕對(duì)值的概念,得
于是有
原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.
例3 已知x<-3,化簡(jiǎn):|3+|2-|1+x|||.
分析 這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題,可從里往外一層一層地去絕對(duì)值符號(hào).
解 原式=|3+|2+(1+x)||(因?yàn)?/font>1+x<0)
=|3+|3+x||
=|3-(3+x)|(因?yàn)?/font>3+x<0)
=|-x|=-x.
解 因?yàn)?/font> abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.
(1)當(dāng)a,b,c均大于零時(shí),原式=3;
(2)當(dāng)a,b,c均小于零時(shí),原式=-3;
(3)當(dāng)a,b,c中有兩個(gè)大于零,一個(gè)小于零時(shí),原式=1;
(4)當(dāng)a,b,c中有兩個(gè)小于零,一個(gè)大于零時(shí),原式=-1.
說(shuō)明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的,這種解法叫作分類(lèi)討論法,它在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)很常用.
例5 若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.
解 因?yàn)椋?/font>x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.
(1)當(dāng)y=2時(shí),x+y=-1;
(2)當(dāng)y=-2時(shí),x+y=-5.
所以x+y的值為-1或-5.
例6 若a,b,c為整數(shù),且|a-b|19+|c-a|99=1,試計(jì)算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.
解 a,b,c均為整數(shù),則a-b,c-a也應(yīng)為整數(shù),且|a-b|19,|c-a|99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù),和為1,所以只能是
?。?/font>a-b|19=0且|c-a|99=1, ①
或
?。?/font>a-b|19=1且|c-a|99=0. ②
由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.無(wú)論①或②都有
所以
解 依相反數(shù)的意義有
因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù),所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0.即
由①有x-y=-3,由②有x+y=1999.②-①得
所以
例8 化簡(jiǎn):|3x+1|+|2x-1|.
分析 本題是兩個(gè)絕對(duì)值和的問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào).若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào),則是很容易的事.例如,化簡(jiǎn)|3x+1|,只要考慮3x+1的正負(fù),即可去掉絕對(duì)值符號(hào).這里我們
為三個(gè)部分(如圖1-2所示),即
這樣我們就可以分類(lèi)討論化簡(jiǎn)了.
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x.
即
說(shuō)明 解這類(lèi)題目,可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等于零的變數(shù)字母的值,即先求出各個(gè)分界點(diǎn),然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn),這樣就將數(shù)軸分成幾個(gè)部分,根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類(lèi)討論化簡(jiǎn),這種方法又稱(chēng)為“零點(diǎn)分段法”.
例9 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.
分析 首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn),然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值,再加以比較,從中選出最大者.
解 有三個(gè)分界點(diǎn):-3,1,-1.
(1)當(dāng)x≤-3時(shí),
由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.
(2)當(dāng)-3≤x≤-1時(shí),
由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.
(3)當(dāng)-1≤x≤1時(shí),
由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.
(4)當(dāng)x≥1時(shí),
由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.
綜上可知,當(dāng)x=-1時(shí),y取得最大值為6.
例10 設(shè)a<b<c<d,求
的最小值.
分析 本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算,但比較麻煩.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的幾何意義來(lái)解題,將顯得更加簡(jiǎn)捷便利.
解 設(shè)a,b,c,d,x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,D,X,則|x-a|表示線段AX之長(zhǎng),同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分別表示線段BX,CX,DX之長(zhǎng).現(xiàn)要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)X,使該點(diǎn)到A,B,C,D四點(diǎn)距離之和最?。?/font>
因?yàn)?/font>a<b<c<d,所以A,B,C,D的排列應(yīng)如圖1-3所示:
所以當(dāng)X在B,C之間時(shí),距離和最小,這個(gè)最小值為AD+BC,即(d-a)+(c-b).
例11 若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒為常數(shù),求x該滿足的條件及此常數(shù)的值.
分析與解 要使原式對(duì)任何數(shù)x恒為常數(shù),則去掉絕對(duì)值符號(hào),化簡(jiǎn)合并時(shí),必須使含x的項(xiàng)相加為零,即x的系數(shù)之和為零.故本題只有2x-5x+3x=0一種情況.因此必須有
故x應(yīng)滿足的條件是
此時(shí)
1.x是什么實(shí)數(shù)時(shí),下列等式成立:
(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|;
(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).
2.化簡(jiǎn)下列各式:
(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.
3.若a+b<0,化簡(jiǎn)|a+b-1|-|3-a-b|.
4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.
5.設(shè)T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,對(duì)于滿足p≤x≤15的x來(lái)說(shuō),T的最小值是多少?
6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.
7.不相等的有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B點(diǎn)應(yīng)為( ).
(1)在A,C點(diǎn)的右邊;
(2)在A,C點(diǎn)的左邊;
(3)在A,C點(diǎn)之間;
(4)以上三種情況都有可能.