百年數學難題中國人來完成答案

百年數學難題中國人來完成答案

　　6月2日，專程從美國來到北京的丘成桐教授拿著最新一期《亞洲數學期刊》說：“這是一篇實實在在的重要論文。最重要的是，文章從頭開始，完完整整地將整個證明過程一步一步地寫得清清楚楚。從來沒有人有能力做過這件事，即使Thurston也沒有把自己的工作寫清楚。這篇論文從頭到尾，每句話我都看了。論文經過審稿，實實在在，可以當大學里的教材?！?

　　被丘成桐大加贊揚的這篇論文，就是兩位中國數學家――朱熹平和曹懷東最終證明龐加萊猜想的論文。在丘成桐看來，這篇長達328頁的論文注定要在數學史上留下自己的位置。

　　丘成桐說：“龐加萊猜想的解決是多位科學家共同努力的結果，最后寫出整套證明方案的是兩位中國數學家。從我的朋友Thurston 開始，到Hamilton，再到 Perelman先生，他們的貢獻都非常大。最后一步是兩位中國數學家完成的，就像蓋了幢大樓，從基礎開始，還沒有封頂，他們的工作就是封頂?！?

　　在接受《科學時報》獨家專訪時，丘成桐向記者講述了龐加萊猜想被證明的來龍去脈。

　　三維龐加萊猜想的證明非常困難

　　1905年，法國數學家龐家萊提出著名的“龐加萊猜想”：在一個三維空間中，假如一條封閉的曲線能收縮成一點，那么這個空間一定是三維的圓球。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　丘成桐說，龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題是幾何領域的主流，它的證明將會對數學界流形性質的認識，甚至用數學語言描述宇宙空間產生重要影響。龐加萊猜想和黎曼猜想共同被認為是數學領域最著名的兩個猜想。幾乎所有的數學家都夢想解決這兩個問題。

　　高維龐加萊猜想的證明比低維龐加萊猜想要容易一些。20世紀60年代初，兩位美國數學家Smale 和Stallings發(fā)表論文，證明了五維及五維以上的龐加萊猜想，Smale因此獲得1966年的菲爾茨獎，但這種方法無法用于證明三維與四維空間龐加萊猜想；1983年，美國數學家Freedman發(fā)表論文，證明了四維龐加萊猜想，因此獲得1986年的菲爾茨獎，但這種方法無法再向前推進。

　　丘成桐說，解決龐加萊猜想有幾種不同的途徑，剛開始是拓撲學的方法，即所謂切割方法，但這個方法到20世紀70年代就很難再進一步了。1978年，美國數學家Thurston引進幾何結構的方法來做切割，這個方法很重要，他因此獲得1983年的菲爾茨獎，但這個方法也無法再向前推進。

　　關鍵一環(huán)：微分幾何分析方法

　　1972年，丘成桐和李偉光發(fā)展出用非線性微分方程的方法來研究幾何結構，丘成桐用這個方法證明了卡拉比猜想和復幾何上的龐加萊猜想。由此，丘成桐知道幾何分析方法有助于龐加萊猜想的解決。

　　1982年，丘成桐的朋友、康奈爾大學的Hamilton發(fā)表一篇文章，提出一種新方程來構造幾何結構。但Hamilton是用微分方程的方法來做的，不同于Thurston的幾何結構方法。丘成桐看出其中的重要性，建議Hamilton用他和李偉光的幾何分析方法來做龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題，同時，讓自己的4位博士生開始這個研究，而曹懷東就是其中一位，他的博士論文就是這方面的工作。丘成桐的另兩位中國學生也對這項工作有著奠基性貢獻，其中一位是來自中國科學院數學所的施皖雄。

　　1982年時，丘成桐是普林斯頓高等研究中心的教授，曹懷東是附近普林斯頓大學的研究生，他慕名成為丘成桐的博士生，也成為丘成桐第一位來自中國大陸的學生。1984年，丘成桐到加州大學圣地亞哥分校做教授，曹懷東跟他到了圣地亞哥。丘成桐同時邀請Hamilton和加州大學伯克利分校的Schoen教授到圣地亞哥分校。丘成桐說：“在圣地亞哥，Hamilton的辦公室就在我的隔壁，我們之間有很多討論?！?

　　可是，Hamilton研究過程中遇到一個重要問題：在用曲率方法推動空間變化時遇到了奇怪的點，如何處理奇異點就成為整個龐加萊猜想證明中最重要的一部分。

　　處理奇異點的發(fā)生是幾何分析上的問題，剛好丘成桐和李偉光發(fā)現(xiàn)了一種處理非線性微分方程的方法。于是，丘成桐建議Hamilton一試。后來，Hamilton花了很多功夫將這種方法用在他的方程上，得到了重要結果。1993年，Hamilton發(fā)表一篇重要論文，開始對奇異點問題有了深刻了解，但如何切掉奇異點又是一個新的困難。

　　丘成桐說：“因為奇異點的產生有很多種，多姿多彩，必須掌握控制它們的方法，這需要很多仔細的分析和幾何結構上的研究。朱熹平和曹懷東在Hamilton和Perelman關鍵性工作的基礎上最后解決了這個問題，所以，他們?yōu)檫@個猜想的解決封了頂。”

　　1995年，丘成桐看到了解決龐加萊問題的大趨勢，他邀請Hamilton到中國講學，并向我國數學界發(fā)出“全國向Hamilton學習，一定會有成就”的口號，但最后，只有朱熹平響應了這個口號。

　　一個證明 半年講解

　　1994年，朱熹平首次在香港中文大學數學研究所的討論班上遇見丘成桐。1997年，丘成桐建議朱熹平集中精力到龐加萊猜想的證明上。之后，丘成桐每年邀請朱熹平到香港中文大學工作半年，其間他們有許多討論。

　　2002年11月，俄羅斯數學家Grigory Perelman在網上公布了一個研究報告，聲稱證明了由Thurston25年前提出的有關三維流形的“幾何化猜想”，而龐加萊猜想正是后者的一個特例。4個月后，Perelman在網上發(fā)布第二份報告，介紹了更多的證明細節(jié)。當時，許多數學家以為Perelman證明了龐加萊猜想，2003年4月5日的《紐約時報》就曾以《俄國人報告著名數學問題解決了》為題首次向公眾披露了這個消息；同日，數學網站MathWorld的頭條新聞是：龐加萊猜想被證明了，這一回是真的。但隨后，數學家們發(fā)現(xiàn)了Perelman的證明不完整，有漏洞。

　　就在Perelman公布其研究時，朱熹平對龐加萊猜想的研究也有了部分結果。不久后，Perelman的證明開始接受專家評審。

　　競爭非常激烈。丘成桐調兵遣將，讓曹懷東在2003年夏天開始和朱熹平合作。2005年，兩人解決了最后的問題。

　　2005年初夏，丘成桐建議哈佛大學邀請朱熹平到哈佛數學系訪問半年，獲得數學系全體教授一致同意。當年9月，朱熹平來到哈佛大學，他的主要任務就是向專家講解他們的證明論文。

　　從2005年9月到2006年3月，朱熹平每周在哈佛大學講3個小時，共講70多個小時。丘成桐說：“聽他講解的教授有5～6位，包括我和哈佛數學系主任在內。我從頭到尾地聽，他一句句地講解，因此，我對整個過程相當了解。這么大的問題，用2到3個小時是講不明白的。朱熹平小心地花了幾十個小時來講，這不是件容易的事。”

　　我為中國驕傲

　　談到數學家們對龐加萊猜想證明的貢獻，丘成桐說：“龐加萊猜想最后證明所用的方法與拓撲學的關系并不大，而是完全用了我和很多朋友在30多年前發(fā)展的幾何分析方法。Hamilton是整個龐加萊猜想證明過程中的主帥、領導人，他是一個偉大的數學家，是我所能看到的少數具有原創(chuàng)性的數學家之一。Perelman先生增加了很重要的部分，朱熹平和曹懷東解決了最后的問題，他們?yōu)檫@個問題封了頂?！?

　　丘成桐為中國數學家的這一杰出成就深感高興，他選擇論文正式發(fā)表后的第三天在北京中國科學院晨興數學研究中心公布這個消息。他說：“這是我創(chuàng)立的研究所，朱熹平和曹懷東在這里有過許多討論，這不是一項普通的成就，是大成就。中國人做出這么好的工作，我為中國驕傲！他們用了我和朋友30多年前發(fā)展出來的方法，我也為此驕傲。我發(fā)展了很多工具，總是希望看到它們的應用和成長?！?

　　這是一個長江后浪推前浪的故事。丘成桐說：“好的學問都是年輕時做出的。在整個幾何分析法上，我花了很多功夫。在這方面我是一個領袖人物。我一直很想做龐加萊猜想，做了很久，也用了很多方法，但最后沒辦法做出來。這很艱難。我的學生能做出這樣好的工作，我當然很高興。這是可以在歷史上留名的工作，希望能借此將整個中國數學界的風氣改正過來。做數學就要真正對數學本身有貢獻，而不是為后面的榮譽和名利?！?